第四章  有穷与无穷

可以任意通过数学归纳法定义有穷数，并且将定义1*1视作初始命题。

但是，我还不能成功地从其他方法推演出这类命题之一。如果你通过包含与自身相似的一部分这个性质而定义了一个无穷的类，就不能证实：去掉一个单一的个体而得到的部分与整个类相似，而这一点对于有穷数论具有至关重要的结果。一旦通过保持对自身相似的这种性质（当你对这个无穷类添加一个不属于它的项时）而定义一个无穷的类，你就排除了所有的个体的那个类（全类），因为你不能够对那个类添加任何东西。鉴于这些理由，与两个初始命题1*7和3*1一起，我采用了定义1*1。

现在我们已经证明：与有穷的基数相似的任何一个类都是一个序级，反之亦然，从这一点我们推演出：第3节的所有的结果都适用于有穷数。

关于y<x的定义，参见第3节命题3*31。

我们推演出：任意一个有穷类都可良序。

命题3*51给出关于无穷的通常定义，但是从这一点看起来不能推演出命题1*1。