第一章  关系的一般理论

*1*0初始观念：Rel＝关系如果R是一种关系，e可以称作关系R的前域，就是说，与单个项或者几个项具有那种关系的一些项的类，我总是使用大写字母代表关系（除了在公式汇编里所碰到的那些关系），而用相对应的小写希腊字母代表这些关系的前域。在定义*21.22中，R这个字母被假定为变项。就是说，a将是一个关系A的前域，β将是一个关系B的前域，以此类推。我将看作这样一个初始观念，它允许我将这个符号放在一些命题的前面，倘若没有这个符号的帮助，这些命题就不可归约为x这个形式。

以上这个初始命题尤其在算术中很重要①。它肯定在两个个体之间存在一种对任意其他一对个体并不成立的关系。既然ｘ和ｙ不受任何限制，这个关系也就不需要一种假设。但是人们可以将这一关系限制在ｘ和ｙ是不同的情形，因为，ｘ和ｙ是相同的情形可以通过关系的乘法从这一点推论出来。

我们有必要对R1R2（表示逻辑积）和R1R2（表示关系积）作出区别。

我们有R1R2＝R1，但一般没有R1R2＝R1；我们有R1R2＝R2R1，但一般没有R1R2＝R2R1。例如，祖父（或外祖父）是父亲和父亲的、或者母亲和父亲的关系积，但不是父亲和母亲的关系积。

如果R是产生一个序列的一种关系（这个序列要求R是传递的并包含在相异（不等同）关系之中），R2＝R给出该序列为紧致序列的条件，就是说，这个序列在它的任何两个项之间含有一个项。（参见下面第5节）我看不出皮尔士和施罗德的关系加法是必不可少的。这里是关系加法的定义：

令R和S是关系：它们的关系之和是像下述这样的一种关系这个初始命题说明是一种关系。这样一来我已经被迫放弃使用大写字母表示关系的规定。

上述这个命题证明：如果u，v是两个非空的类，在所有的u的项和所有的v的项之间就有一种能够成立的关系，但是这种关系在任何其他一对项之间不成立。

这个关系u是只对于类u的关系∈。它是通过∈与只在u和u之间成立的那种关系的关系积而形成的。

*4*1初始观念：I’＝等同关系这个符号是在施罗德的符号记法里给出的。我不用＝这个符号代表个体之间的等同关系，因为它另外用来表达类之间、命题之间和关系之间的等价性。

2，1’RelNc＋1是多对一关系的类。符号Nc＋1表示：如果我们有xRy，当给出x时，只有一个可能的y。但是，当给出y时，就有x的某个基数，它满足xRy这个条件。同理，1＋Nc是多对一关系的逆的类，而1＋1是一一关系的类。

①本文逻辑公式中出现的"Cls"意为"类"，"Elm"意为"单元"，"prop"意为"命题"，"Induct"意为"归纳"，"sim"意为"相似"，"fin"意为"有穷"，"infin"意为"无穷"，"transp"意为"移项"，"seq"意为"后续"，"Dem"意为"证明"，"Cls*rel"意为"类的关系"，"Cls，Cls"意为"类的类"，"Hp"意为"假设"——译者你不会有R＝1’，因为R的前域和R的前域相同，它一般只是1’

的前域的一部分。

命题6*2是6*1的逆。它断定：所有的传递的、对称的和非空的关系都可以分析成为一种多对一关系和其逆的积，并且这个论证给出我们有能力做到这一点的一种方式，并没有证明不存在其他的做到这一点的方式。命题6*2为使用抽象方式的定义所预设，而它说明：这些定义一般不给出单一的个体，只给出一个类，因为关系S的类一般不是一个元素。对于这个类的每个关系S和对于R的所有的项x来说，存在一个为抽象方式的定义所指明的个体；但这个类的其他关系S一般不给出同样的个体，在具体的应用中这一点将得到更好的解释，例如下一节里的例子。同时，我们总可以把x这个类（它在命题6.2的论证中出现）作为通过抽象方式的定义所指明的个体；举例来说，一个类u的基数一定是相似于U的许多类的那个类。