第22章 小数法则—样本大小与统计结论(2)

　　我们知道，大数法则需要很大的样本数才能发挥作用，基数越大，就越稳定。随着样本的增大，随机变量对平均数的偏离是不断下降的。所以，大医院更稳定。这一基本的统计概念显然与人们的直觉是不符的。

　　杜伊先生果然钻进了圈套，他认为较大的医院有更多超过60%的新生儿是男孩的日子。

　　再没有一种学问比概率更能让专家洋相百出了。一个整天向学生灌输大数法则的教授，自己居然不相信大数法则！

　　普通人又如何呢？

　　特韦斯基后来把这个问题做了严格的实验。22%的受试者认为较大的医院有更多这样的日子，而56%的受试者认为两个医院有相等的可能性，仅仅22%的受试者正确地认为较小的医院会有更多这样的日子。

　　很多研究者，其实也是“直觉型统计学家”，很多一本正经的调研数据，其实一文不值。因为调查的样本过小，就会产生很大的失误。

　　就连丹尼尔·卡尼曼也忍不住自我检讨，他也和很多研究型心理学家一样，曾犯过小数法则的错误。而且这种错误对于卡尼曼来说甚为尴尬，因为他也曾经教授过统计学。

　　小数法则

　　大数法则是统计学的基本常识，有人称之为“统计学的灵魂”。大数法则虽然威力无穷，普通人却因它其貌不扬而将其忽视。

　　针对人们在思考时常常无视大数法则的现象，特韦斯基提出了“小数法则”的概念。“小数法则”不是什么定律或法则，而是一种常见的心理误区。

　　用错误的心理学“小数法则”代替了正确的概率论大数法则，这是人们赌博心理大增的缘由。

　　小数法则是一种心理偏差，是人们将小样本中某事件的概率分布看成是总体分布。人们在具有不确定性的情形下，会抓住问题的某个特征直接推断结果，而不考虑这种特征出现的真实概率以及与特征有关的其他原因。

　　小数法则是一种直觉思维，很多情况下，它能帮助人们迅速地抓住问题的本质推断出结果，但有时也会造成严重的偏差，特别是会忽视事件的无条件概率和样本大小。

　　做生意，不要相信“小数法则”

　　爱因斯坦说：“上帝不掷骰子。”对上帝来说，一切都是确定的。

　　大数法则就是一种先验概率，而天生是“概率盲”的人类，却直觉地相信“小数法则”。

　　当当网网上商城的创办人俞渝女士，曾在一个叫作《创业百问》的电视节目中，和郭广昌这样讨论—

　　郭总刚才讲的，5个合伙人，15年可以同步进步，这事我觉得违反自然规律。这个团队有人进步有人退步，有人进得多，有人退得少，这在经济学上来讲是一个大数法则。

　　以刚才描述的现象，在我听来，是一个小数法则的现象，小数法则里头有这种神话，而这种神话发生在您身上，那您很幸运，但是我觉得在其他正在建立团队的人身上，去同样复制的可能性很小。我觉得做企业，一定要看大数法则……

　　小贴士：

　　大数法则是一种统计定律；小数法则是一种心理偏差。

　　大数法则是一种科学；小数法则是一种迷信。

　　大数法则是中性词；小数法则是贬义词。

　　股神大哥的预测模式

　　行为经济学家马修·拉宾曾假设：如果你是一位投资者，你亲见一位基金经理在过去两年中的投资业绩好于平均情况。你是否就会得出这位经理要比一般经理优秀的结论？

　　然而真实的统计意义非常微弱。让我们来看看股神大哥的预测模式。

　　第一周，发10000条短信，股神大哥预言某只股票的涨跌。其中5000条说某只股票涨，5000条说跌。

　　第二周，股神大哥向其中说对的5000人再发一条短信，其中2500条说某只股票涨，2500条说某只股票跌。

　　第三周，他再向说对的2500人发短信，其中1250条说某只股票会涨，1250条说某只股票会跌。

　　最后有1250人，发现这位股神大哥连续3次说对某只股票的涨跌，简直太崇拜了。其中有500人真的把钱交给他投资了。当然，如果赚钱是要分成的。

　　股神大哥拿到钱后会做什么呢？他会给这500个不同的账户各买一只股票，尽量让这些股票各不相同。一段时间过后，股票有的涨，有的跌。

　　如果一个人的账户买了一只涨的股票，他对股神大哥就会更加信赖，甚至还会追加投资。

　　假如碰到一个大牛市，大部分时间里，大部分股票上涨概率大大超过下跌。因此，股神大哥的这种模式是非常有“钱途”的。

　　假如来了个大熊市，大部分股票在大部分时间下跌超过上涨，股神大哥也是不用负责的，大不了退出江湖而已。

　　赌客谬误

　　小数法则的经典表现就是“赌客谬误”。

　　李太太一连生了五个女儿。

　　李太太说：“希望我们下一个孩子是男孩。”

　　李先生说：“亲爱的，都生了五个女儿了，下一个肯定是儿子。”

　　李先生说得对吗？

　　众所周知，掷硬币正反面出现的概率为50%，在掷硬币游戏中，如果前几次大多数出现正面，那么很多人会相信下一次投掷很可能出现反面。这就是赌客谬误（gambler\"sfallacy），也是很多赌客信心大增的原因。

　　赌客谬误的产生，是因为人们错误地诠释了“大数法则”的平均律。投资者倾向于认为大数法则适用于大样本的同时，也适用于小样本。

　　赌博是随机事件。

　　一枚硬币，连出三把都是正面，那么下一把出反面的概率仍然不会大于50%。

　　从理论上讲，硬币也好，骰子也好，既没有记忆，也没有良心，概率法则支配一切。

　　随便到一家合法的赌场，就能看到这种赌客“猜反正”的现象：

　　连输几次就该赢了；

　　连出几次红就感觉该出黑了；

　　连出几次庄就以为该出闲了；

　　连出几张是小牌肯定该出大牌了；

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　　这是很多赌客感觉能战胜庄家的理论依据，甚至很多有学问的赌徒写的“赌经”，都明显带有这种错误。

　　你可曾见赌客拿本子记录百家乐出闲和庄？赌瘾甚至可以让一个天资平庸的赌徒变成统计学教授。

　　理论背景：雅各布与大数法则

　　雅各布·贝努利（Jacob Bernoulli）1654年生于瑞士，他没有遵照父亲的意思去当律师或经商，而是自学成为一名数学家。

　　雅各布生活的时代，是一个牛人辈出的时代。例如约翰·阿布斯诺特（John Arbuthnot），他是一位御医，同时还是一位业余数学家。他对概率十分感兴趣，用丰富的病例来阐述他的观点。他在一篇论文中，研究了“20岁的妇女是否有处女膜”的概率以及“20岁的花花公子没得淋病”的概率。

　　这种学术风气，促使雅各布开始留意概率问题。雅各布和牛顿生活在同一时代，他有着贝努利家族传统的自负心态，他认为他和牛顿不相上下。1703年雅各布·贝努利率先提出了如何从样本中发现概率的问题。

　　雅各布教授自己的弟弟约翰数学。约翰和雅各布一样聪明，而且和他的哥哥一样，他是个对名声的追求近乎病态的人。

　　雅各布和弟弟约翰有一个习惯，就是对一个问题有竞争性地进行研究，并且在媒体中无情地攻击对方。

　　雅各布虽然发现了大数法则，但由于兄弟俩在科学问题上过于激烈争论，致使双方的家庭也被卷入。以至于雅各布死后，他的《猜度术》手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年，直到1713年才得以出版，几乎使这部经典著作的价值受到损害。

　　《猜度术》是雅各布·贝努利一生最有创造力的著作。在这部著作中，他提出了概率论中的“贝努利定理”，该定理是“大数法则”的最早形式。

　　为了说明大数法则，雅各布假设了一个装满30000枚白色石子和20000枚黑色石子的罐子，不知道每种颜色的石子的数目。

　　我们从罐子中，按不断增加的数目取出石子，并在将它们放回瓶子之前，记录每枚石子的颜色。

　　如果我们取出越来越多的石子，最终我们会得到“接受必然的可能性”，也就是说，在实际事件上是必然的，但又不是绝对的必然—两种颜色石子的比率是3∶2。

　　雅各布的计算显示，从瓶子中取出25550枚石子后，则有大于1000\/1001的概率使其结果与真实结果（3∶2）间的差异在2%之内。也就是所谓的“接受必然的可能性”。

　　雅各布宣称，我们可以对任何不确定的数量进行科学的预测了。如果我们能“先知”的话，那么我们几乎能很准确地判断“事后”的事例的数目。

　　由于“大数法则”的极端重要性，1913年12月彼得堡科学院曾举行庆祝大会，纪念“大数法则”诞生200周年。

　　《猜度术》是概率论的第一部奠基性著作，所含概率思想具有划时代的重大意义，可谓对概率论作出了决定性的贡献，推进了概率论的进一步发展。因而其出版是概率论成为独立数学分支的标志。