第二章  基数

为了肯定具有常值的一个项（诸如"sim"）属于这个或那个类，我们总是需要某个初始命题。

参见第1节结束时的注释。如果我们想要用抽象方式定义基数，我们只能将它定义为许多类的一个类，而许多类中每一类都与"基数"这个类有一一对应关系，而具有这样一种对应关系的每一个类都属于这个基数类，这一点来自下面的命题*52和*54。

命题*52和*54证明：所有那些构成类S的不同关系的前域的类都是相似的（sim），而所有的相似于这些类之一的类都属于这个类的类。基数算术全部适用于这些类的每一类；但是为了全面发展有穷数论的理论，还需要数学归纳法。（参见第4节。）命题*1*11指出：总可能找到一种关系，其关系前域是一个给定的关系的前域之有限部分，而等值于那个部分中所给定的关系。

这个命题以一种形式说明了算术加法的基础，这个形式允许无穷数和一些有穷或无穷数的相加。

这个定义根据命题3*41。注意到下面这一点很重要：这个定义规定了具有有穷或无穷数的一个有穷或无穷的类的总和；但是，对于所有这些数来说，它们的差异是必要的，否则便不可能将它们定义为数的一个类，而只能定义为类的数。鉴于求和中有一些等数的情形，就需要不同的思考，乘法运算中尤其如此。为了避免篇幅过长，我就不在这里展开这个运算。

这个定义根据命题3*51。

命题*5和*6证明：如果一个类的数和另一类的数相等，另一类是通过从一给定的类减去一项而得，那么这个数也和通过对所给的类加上一项而得的类的数相等，反之亦然。既然我们已经证明（4*3）1与0是不同的，我们借此也可以证明：在服从数学归纳法的数的类中，从0开始，两个连续的数决不相等。为了展开这个主题，有必要考查序级（progressions）的理论，即关于其序数是ω的序列（series）的理论。