第三章  序级

序级这是关于序数ω的定义，或者毋宁说（如果你愿意）是关于可数的类的类之定义。序数实际上是序列的类。ω这个类是无穷序列的类中最简单的。

既然此定义不预设数，那么最好是对这一序列的类型（序型）给出一个不含数的名称。因此，我称这个序型为序级的类。下面是其书面定义：ω是u类的类，这些类具有一一对应关系R，使得u被包含在R的前域之中，不同的u对其有关系R的那些项的类被包含在u之中，而不必与u相同一，而且，如果s是任何一个至少u的一个项所属于的类（任何u对这个类都不具有关系R），所有的u的项都属于这个类，而u和s的共同部分的一个项对这个类具有关系R，那么，这个类u被包含在类s之中。

命题1*4*5通过归纳定义了关系的有穷势。这个定义是借助于u的那些项完成的。根据序级的理论，倘若没有关系的势，你就会寸步难行；因此，如果希望使这一理论脱离数，就十分有必要以不引入数的方式定义这些势。

符号1’π意谓在类π中的等同，和在其他地方的空关系。参见第2节命题3*12。

这个命题断定：两个序级永远是两个相似的序列。这就是说，你可以找到一种一一对应关系，这一关系的前域是两个序级之一，这一关系的逆关系具有关于它的前域的另一个序级，而这一关系是这样：在一个序列中领先的那些项相当于在另一个序列中领先的那些项，反之亦然。

在这个命题中我们证明：任何与一个序级相似的类其自身也是一个序级。如果P是在u和u’之间的一一关系，而R是u的生成关系，那么RP是u’的生成关系。

命题2*11证明：在序级的开端我们可以任意地去掉许多项，而不会使其不再是一个序级。命题2*12证明：一个序级的任何项都与它的后继完全不同。

这个命题证明：相同的项绝不可能在一个序级中再次出现；每一项都和所有在先的项完全不同。

现在我们已经证明了加法和乘法的形式规则：在命题2*51中加法的结合律，在命题2*53中加法的交换律，在*62和*63中加法的分配律，和在*64中乘法的交换律。乘法的结合律立即从（正像对于所有的关系积一样）关于逻辑积的相同规则中得出。在前面的所有证明中我们从未假定数：这全部理论适用于每一个序级。因而，在一般形式中可以得出所有的有穷数的算术系统。

在数学中我们习惯于谈论运算而不谈多对一关系。定义4*5*51就是为了允许使用我们习惯了的语言。在这些定义中一个多对一关系和一个运算之间的关系被解释为：一个相等符号之后出现的运算意谓那种相对应的关系。

命题4*6*61给出对应于有理数的运算的一般定义。注意到这一点很重要：根据这一定义，任何有理数都不能等同于一个整数，因为有理数是关于整数的运算，反之，整数不是关于有理数的运算。

[这个命题利用命题4*11的方法得到证明，但这个证明太长。]

为了避免混淆，我利用M指谓有理数中较小的那种关系。我们希望说明这种关系与它的平方相等同。这证明它产生一个紧致序列。在第5节中我们将展开有关这些序列的一般理论。

＋ru是正有理数的类，而正有理数是对没有符号的有理数的运算。u、ru、＋u、＋ru这些类互相排斥：这四类中没有一类的项属于另外三类中的任何一类。